一、导数的宗旨

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无论导数的款式若何变化，分母长久是自变量的增量，分子是对应的因变量的增量。（导数：增量之比取极限）

研究导数界说的极限傍边趋近方式不同，不错获取单侧导数的宗旨：

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由此不错获取如下追思：

①求单点的导数径直用界说是最靠谱的；

②淌若f(x)的导数存在，则不错径直先求导函数，再代入某点求得导数。

③导函数界说不错推导出基本初等函数的导数。

例题1

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例题2

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例题3

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二、常数和基本初等函数的导数

1、常数和基本初等函数导数列表

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以上导数公式不错通过导数界说、导数四则运算礼貌、反函数求导礼貌分辨求出，是料理一切初等函数求导的基础；同期亦然策画微分的基础。致使径直联系到积分的求解，是微积分中的最基本的履行。因此，为了使用浅近，不仅要习气于从左向右挂牵（求导），更应该学会从右往左的挂牵。

2、导数的四则运算礼貌

设u和v是两个初等函数，那么它们的四则运算的导数公式为：

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其中，乘法公式不错践诺到n个函数的乘积，导出成果共n项，每项一次只对一项求导下式以三界为例：

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例题：

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3、反函数求导礼貌

反函数的导数即是其径直函数导数的倒数。数学表述为：

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例题：

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三、复合函数求导礼貌

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复合函数求导礼貌：先把复合函数的复合方式找到，然后对这些函数分辨求导数，临了将这些导数一谈乘起来。该方法称为链式求导礼貌。

例题

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肃穆之后，不错不必把复合方式写出来，只需要像如下方式写求解历程即可。

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例题

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四、隐函数的导数

1、隐函数求导礼貌

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虽然，也不错把方程中的y看作x的函数，诈欺复合函数求导礼貌求导。

例题1：

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例题2：

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2、对数求导法

对数求导法适用于：幂指函数或连乘（除）的函数款式。

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例题

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五、参数方程详情的函数的导数

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例题

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六、变限积分求导礼貌

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例题1：

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例题2：

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例题3：求极限

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七、微分和泰勒公式估算雷同值

1、高阶导数

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关于两个函数乘法的n阶导数不错使用莱布尼茨公式：

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该公式的挂牵方法可类比于二项式定理来挂牵。

例题1：求二阶导数

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例题2：求二阶导数

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例题3：求n阶导数

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2、函数的微分

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微分的几何道理：函数在局部的线性雷同（切线代弧线），体现的是'以直代曲'。

策画微分的方法：对函数求导，并在导数后头乘上自变量的微分dx。即

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2、微分礼貌

常数和基本函数的导数公式与导数策画有相通性，不错仿照挂牵。

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微分的四则运算礼貌：

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复合函数的微分礼貌：

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其中，u=g(x)。可见，无论中间复合多复杂，微分款式齐保抓不变，称为微分款式的不变性。

求解微分的方法：

①先对函数求导；

②在导数成果的临了乘以自变量微分dx，获取dy。

例题：求下列函数的微分

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例题2：补全微分

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例题3：微分值策画

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3、微分的的雷同策画

函数在某点不错使用该点处的切线段手脚雷同：

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若导数和函数值均易策画，那么不错通过该公式进行雷同策画。研究当x0=0时，咱们不错获取底下的雷同公式：

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例题:

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八、导数的基础应用

1、切线方程和法线方程

导数是弧线f(x)某点处切线的斜率，因此，不错很浅近地求出切线方程；而法线方程垂直于切线，垂直直线的斜率乘积为-1，因此也容易求出法线方程。这里需要翔实，给定的点是否在弧线上，分下列两种情形来霸术。

①点在弧线上

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例题

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②点不在弧线上

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例题

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2、辩论变换率

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例题1：

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九、曲率

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例题1：

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例题2：

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例题3：

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十、函数单调性、落魄性、极值、最值问题曲率

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通过上述定理和分析，不错获取函数极值、单调区间、落魄性和拐点的形状：

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例题1 求函数的单调区间、落魄性、极值和拐点：

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该函数的图像为：

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例题2：求函数在闭区间的最值

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该函数的图像为：

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例题3：应用题

要造一个圆柱形的油罐，体积一定时，底面直径和高骄矜什么比值时，使之名义积最小？

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例题4：不等式讲明

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十一、边因缘析和弹性分析

11.1 边因缘析

边缘函数：函数的导函数称为边缘函数。常见的边缘函数有：

边缘老本：总老本函数的导函数称为边缘老本，记作MC：

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经济道理为：当产量为Q时，加多单元产量时，总老本的变化量。

边缘收益：总收益函数的导函数称为边缘收益，记作MR：

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经济道理为：当销量为Q时，多销售1个单元的产物时，加多的总收益。

边缘利润：利润函数的导函数称为边缘利润，记作ML：

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经济道理为：当销售量达到Q时，再加多一个单元产物的销售带来的总利润变化量。

例题1

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11.2 弹性分析

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弹性函数的经济道理：自变量在x处的相对增长量为

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时，因变量y的相对增长量为

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。

例题2：

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十二、方程的雷同解

方程雷同解有三个常用算法：二分法、牛顿法、割线法（更动牛顿法）。底下分辨先容三种方法的形状、算例、Python杀青以及启动成果。

二分法

表面基础：零点定理和区间套定理。

二分法形状：

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算例：

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Python依次：

def f(x): return x ** 3 + 1.1 * x ** 2 + 0.9 * x - 1.4def dichotomy(a, b, eps, f): if f(a) * f (b) > 0: print('区间[{}, {}]可能莫得根！'.format(a, b)) return None else: if f(a) >0: a, b = b, a while abs(a - b) > eps: c = (a + b) / 2 if f(c) == 0: return c elif f(c) < 0: a = c else: b = c return cif __name__ == '__main__': print('方程的解为：', dichotomy(0, 1, 1.0E-16, f))

启动成果：

方程的解为：0.6706573107258097

牛顿法（切线法）

表面基础：介值定理、紧密性定理（单调有界道理）、二阶泰勒伸开。

牛顿法形状：

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算例：

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Python依次：

def f(x): return x ** 3 + 1.1 * x ** 2 + 0.9 * x - 1.4def f_diff(x): return 3 * x ** 2 + 2.2 * x + 0.9def Newton(x0, eps, f, f_diff): x1 = x0 - f(x0)/f_diff(x0) while abs(x1 - x0) > eps: x0 = x1 x1 = x0 - f(x0)/f_diff(x0) return x1if __name__ == '__main__': print('方程的解为：', Newton(1, 1.0E-16, f, f_diff))

启动成果：

方程的解为： 0.6706573107258097

更动牛顿法（割线法）

切线法中需要策画导数，然而导数求解对某些函数至极坚苦，于是不错使用如下雷同来更动牛顿法：

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表面基础：介值定理、紧密性定理（单调有界道理）、二阶泰勒伸开。

割线法形状：

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算例：

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Python依次：

def f(x): return x ** 3 + 1.1 * x ** 2 + 0.9 * x - 1.4def Secant (x0, x1, eps, f): while abs(x1 - x0) > eps: f_diff = (f(x1) - f(x0)) / (x1 - x0) x2 = x1 - f(x1)/f_diff x0, x1 = x1, x2 return x1if __name__ == '__main__': print('方程的解为：', Secant(1, 0.8, 1.0E-16, f))

启动成果：

方程的解为：0.6706573107258097

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